📌 বর্গ ও ঘন সূত্রাবলি
বীজগণিতের ভিত্তি হলো এই সূত্রগুলো। BCS, Bank ও সকল প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় এগুলো সরাসরি প্রশ্ন হিসেবে আসে এবং অন্যান্য সমস্যা সমাধানেও ব্যবহার হয়।
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a−b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a+b)(a−b)
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)
(a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = a³ − b³ − 3ab(a−b)
a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
- (a+b)² + (a−b)² = 2(a² + b²)
- (a+b)² − (a−b)² = 4ab
- a² + b² = (a+b)² − 2ab = (a−b)² + 2ab
- যদি a+b+c = 0 হয়: a³ + b³ + c³ = 3abc
- যদি a² + b² + c² = ab + bc + ca হয়: a = b = c
🔍 সমাধিত উদাহরণ ১
প্রশ্ন: x + 1/x = 5 হলে, x² + 1/x² = কত?
(x + 1/x)² = x² + 2·x·(1/x) + 1/x² = x² + 2 + 1/x²
∴ x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = 5² − 2 = 23
🔍 সমাধিত উদাহরণ ২
প্রশ্ন: যদি a − b = 3 এবং ab = 10 হয়, তাহলে a³ − b³ = কত?
a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²) = (a−b){(a−b)² + 3ab}
= 3 × {9 + 30} = 3 × 39 = 117
📌 উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)
একটি বীজগণিতীয় রাশিকে দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ করাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলে। পরীক্ষায় এই ধরনের প্রশ্ন বারবার আসে।
| প্যাটার্ন | উৎপাদক | উদাহরণ |
|---|---|---|
| a² − b² | (a+b)(a−b) | x² − 9 = (x+3)(x−3) |
| a² + 2ab + b² | (a+b)² | x² + 6x + 9 = (x+3)² |
| a² − 2ab + b² | (a−b)² | x² − 10x + 25 = (x−5)² |
| x² + (p+q)x + pq | (x+p)(x+q) | x² + 7x + 12 = (x+3)(x+4) |
| a³ + b³ | (a+b)(a²−ab+b²) | 8x³ + 27 = (2x+3)(4x²−6x+9) |
| a³ − b³ | (a−b)(a²+ab+b²) | x³ − 64 = (x−4)(x²+4x+16) |
ax² + bx + c কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে:
- a × c গুণফল বের করুন
- এমন দুটি সংখ্যা খুঁজুন যাদের গুণফল = a×c এবং যোগফল = b
- মধ্যপদ ভাঙুন এবং গ্রুপ করুন
উদাহরণ: 2x² + 7x + 3 → a×c = 6, সংখ্যা: 6, 1 (6+1=7, 6×1=6)
= 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x+3) + 1(x+3) = (2x+1)(x+3)
📌 করণী (Surds)
যেসব irrational সংখ্যা root আকারে প্রকাশ করা হয় তাদের করণী বা surd বলে। Bank পরীক্ষায় এই বিষয়ে প্রায়ই প্রশ্ন আসে।
√(a×b) = √a × √b
√(a/b) = √a / √b
(√a)² = a
√a × √a = a
a√b + c√b = (a+c)√b
হরকে মূলদ করা (Rationalization)
হরে √a + √b থাকলে, লব ও হর উভয়কে (√a − √b) দিয়ে গুণ করুন:
1/(√a + √b) = (√a − √b) / (a − b)
উদাহরণ: 1/(√5 + √3) = (√5 − √3)/(5 − 3) = (√5 − √3)/2
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৩
প্রশ্ন: √2 = 1.414 হলে, 1/√2 = কত?
1/√2 = 1/√2 × √2/√2 = √2/2 = 1.414/2 = 0.707
📌 সূচক ও লগারিদম
সূচক (Index/Exponent) ও লগারিদম (Logarithm) পরস্পর বিপরীত প্রক্রিয়া। যদি aⁿ = x হয়, তাহলে logₐ x = n।
| সূচকের নিয়ম | লগারিদমের নিয়ম |
|---|---|
| aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | log(mn) = log m + log n |
| aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | log(m/n) = log m − log n |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | log(mⁿ) = n log m |
| a⁰ = 1 | log 1 = 0 |
| a⁻ⁿ = 1/aⁿ | logₐ a = 1 |
| a^(1/n) = ⁿ√a | logₐ b = 1/log_b(a) |
| (ab)ⁿ = aⁿ·bⁿ | logₐ b = log b / log a (base change) |
- 2¹⁰ = 1024 ≈ 10³ (কম্পিউটারে 1K)
- log₂ 8 = 3, log₂ 16 = 4, log₂ 32 = 5
- log 2 ≈ 0.301, log 3 ≈ 0.477, log 5 ≈ 0.699
- log 5 = log(10/2) = log 10 − log 2 = 1 − 0.301 = 0.699
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৪
প্রশ্ন: log₈ 32 = কত?
8 = 2³ এবং 32 = 2⁵
log₈ 32 = log(2⁵) / log(2³) = 5 log 2 / 3 log 2 = 5/3
📌 সমীকরণ সমাধান
একঘাত সমীকরণ (Linear Equation)
ax + b = 0 আকারের সমীকরণ। সমাধান: x = −b/a
যুগপৎ সমীকরণ (Simultaneous Equations)
a₁x + b₁y = c₁ এবং a₂x + b₂y = c₂ হলে:
x = (c₁b₂ − c₂b₁) / (a₁b₂ − a₂b₁)
y = (a₁c₂ − a₂c₁) / (a₁b₂ − a₂b₁)
উদাহরণ: 2x + 3y = 12 এবং 3x + 2y = 13 সমাধান করুন।
- দুই সমীকরণ যোগ: 5x + 5y = 25 → x + y = 5
- দুই সমীকরণ বিয়োগ: −x + y = −1 → x − y = 1
- ∴ x = (5+1)/2 = 3, y = (5−1)/2 = 2
দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)
ax² + bx + c = 0 হলে, x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
মূলদ্বয়ের যোগফল = −b/a
মূলদ্বয়ের গুণফল = c/a
d > 0: দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল | d = 0: দুটি সমান মূল | d < 0: কোনো বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৫
প্রশ্ন: x² − 7x + 12 = 0 হলে, x এর মান কত?
দ্রুত পদ্ধতি: এমন দুটি সংখ্যা যাদের যোগফল = 7 ও গুণফল = 12 → 3 ও 4
x² − 7x + 12 = (x−3)(x−4) = 0 → x = 3, 4
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৬
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল 10 ও গুণফল 21। সংখ্যা দুটি কত?
ধরি সংখ্যা দুটি x ও y। x + y = 10, xy = 21
t² − 10t + 21 = 0 → (t−3)(t−7) = 0 → সংখ্যা দুটি 3 ও 7
📌 ভেদ (Variation)
দুটি রাশির মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশের একটি পদ্ধতি। BCS ও Bank পরীক্ষায় word problem হিসেবে আসে।
| ভেদের প্রকার | সম্পর্ক | সূত্র |
|---|---|---|
| সমানুপাতিক (Direct) | x বাড়লে y বাড়ে | y = kx (k ধ্রুবক) |
| ব্যস্তানুপাতিক (Inverse) | x বাড়লে y কমে | y = k/x বা xy = k |
| সংযুক্ত ভেদ (Joint) | z, x ও y উভয়ের উপর নির্ভরশীল | z = kxy |
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৭
প্রশ্ন: y, x-এর সমানুপাতিক। x = 4 হলে y = 12। x = 7 হলে y = কত?
y = kx → 12 = k × 4 → k = 3
x = 7 হলে, y = 3 × 7 = 21
📌 ভাগশেষ ও গুণনীয়ক উপপাদ্য
f(x) বহুপদীকে (x − a) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ = f(a)
যদি f(a) = 0 হয়, তাহলে (x − a) হলো f(x) এর একটি উৎপাদক
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৮
প্রশ্ন: f(x) = x³ − 3x² + 4 কে (x − 2) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?
f(2) = 2³ − 3(2²) + 4 = 8 − 12 + 4 = 0
ভাগশেষ 0, তাই (x−2) হলো f(x) এর একটি উৎপাদক!
- xⁿ − aⁿ সর্বদা (x − a) দ্বারা বিভাজ্য (সকল n এর জন্য)
- xⁿ + aⁿ কেবল (x + a) দ্বারা বিভাজ্য যখন n বিজোড়
- xⁿ − aⁿ শুধুমাত্র (x + a) দ্বারা বিভাজ্য যখন n জোড়
📌 অসমতা ও পরম মান
a > b এবং c > 0 হলে → ac > bc (ধনাত্মক দিয়ে গুণ করলে চিহ্ন একই থাকে)
a > b এবং c < 0 হলে → ac < bc (ঋণাত্মক দিয়ে গুণ করলে চিহ্ন উল্টে যায়)
|x| < a হলে → −a < x < a
|x| > a হলে → x > a অথবা x < −a
- AM ≥ GM: (a+b)/2 ≥ √(ab) — সমতা হয় যখন a = b
- a² + b² ≥ 2ab (সর্বদা সত্য, কারণ (a−b)² ≥ 0)
- দুটি ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল নির্দিষ্ট হলে, গুণফল সর্বোচ্চ হয় যখন সংখ্যা দুটি সমান
📌 পরীক্ষার শর্টকাট কৌশল
- x + 1/x = n হলে, x² + 1/x² = n² − 2
- x − 1/x = n হলে, x² + 1/x² = n² + 2
- x² + 1/x² = n হলে, x⁴ + 1/x⁴ = n² − 2
- x + 1/x = n হলে, x³ + 1/x³ = n³ − 3n
- x − 1/x = n হলে, x³ − 1/x³ = n³ + 3n
- দুই অঙ্কের সংখ্যা: অঙ্ক দুটি a ও b হলে, সংখ্যা = 10a + b, বিপরীত সংখ্যা = 10b + a
- সংখ্যা ও বিপরীত সংখ্যার পার্থক্য = 9(a − b)
- সংখ্যা ও বিপরীত সংখ্যার যোগফল = 11(a + b)
- তিন অঙ্কের সংখ্যা: 100a + 10b + c
- a + b = s, a − b = d হলে → a = (s+d)/2, b = (s−d)/2
- a + b = s, ab = p হলে → a − b = √(s² − 4p)
- n টি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল = n × মধ্যম সংখ্যা
- n টি ক্রমিক জোড়/বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n × মধ্যম সংখ্যা
১. বর্গ ও ঘন সূত্র প্রয়োগ ২. x + 1/x জাতীয় সমস্যা ৩. উৎপাদকে বিশ্লেষণ ৪. সূচক সরলীকরণ ৫. দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়