📌 রেখা ও কোণ
জ্যামিতির সবচেয়ে মৌলিক ধারণা হলো রেখা ও কোণ। BCS ও Bank পরীক্ষায় সমান্তরাল রেখা ও ছেদক সংক্রান্ত কোণের প্রশ্ন প্রায়ই আসে।
- সূক্ষ্মকোণ: 0° < θ < 90°
- সমকোণ: θ = 90°
- স্থূলকোণ: 90° < θ < 180°
- সরলকোণ: θ = 180°
- প্রবৃদ্ধকোণ: 180° < θ < 360°
- পূর্ণকোণ: θ = 360°
সম্পূরক কোণ: দুই কোণের যোগফল = 90° (একটি 40° হলে অপরটি 50°)
পরিপূরক কোণ: দুই কোণের যোগফল = 180° (একটি 60° হলে অপরটি 120°)
বিপ্রতীপ কোণ: দুই রেখা ছেদ করলে বিপরীত কোণগুলো সমান
সমান্তরাল রেখা ও ছেদক
- একান্তর কোণ: পরস্পর সমান (Z-আকৃতি)
- অনুরূপ কোণ: পরস্পর সমান (F-আকৃতি)
- সহকোণ (Co-interior): যোগফল = 180° (U-আকৃতি)
🔍 সমাধিত উদাহরণ ১
প্রশ্ন: দুটি পরিপূরক কোণের পার্থক্য 40° হলে, ছোট কোণটি কত?
ধরি কোণ দুটি x° ও (180−x)°। পার্থক্য: (180−x) − x = 40 → 180 − 2x = 40 → x = 70°
📌 বহুভুজের ধর্ম
অন্তঃকোণের যোগফল: (n − 2) × 180°
প্রতিটি অন্তঃকোণ (সুষম): (n − 2) × 180° / n
বহিঃকোণের যোগফল: সর্বদা 360°
কর্ণের সংখ্যা: n(n − 3)/2
| বহুভুজ | বাহু (n) | অন্তঃকোণের যোগ | প্রতিটি অন্তঃকোণ | কর্ণ |
|---|---|---|---|---|
| ত্রিভুজ | 3 | 180° | 60° | 0 |
| চতুর্ভুজ | 4 | 360° | 90° | 2 |
| পঞ্চভুজ | 5 | 540° | 108° | 5 |
| ষড়ভুজ | 6 | 720° | 120° | 9 |
| অষ্টভুজ | 8 | 1080° | 135° | 20 |
📌 ত্রিভুজ
জ্যামিতির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ আকৃতি। পরীক্ষায় ত্রিভুজ থেকে সর্বাধিক প্রশ্ন আসে।
সাধারণ: ½ × ভূমি × উচ্চতা
হেরনের সূত্র: √(s(s−a)(s−b)(s−c)), যেখানে s = (a+b+c)/2
সমবাহু ত্রিভুজ: (√3/4) × a²
দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ জানা থাকলে: ½ × a × b × sinC
তিন কোণের যোগফল = 180°
ত্রিভুজের প্রকারভেদ
| বাহু অনুসারে | কোণ অনুসারে |
|---|---|
| সমবাহু: তিন বাহু সমান, প্রতিটি কোণ = 60° | সূক্ষ্মকোণী: সব কোণ < 90° |
| সমদ্বিবাহু: দুই বাহু সমান, ভূমিসংলগ্ন কোণ সমান | সমকোণী: একটি কোণ = 90° |
| বিষমবাহু: তিন বাহু ভিন্ন | স্থূলকোণী: একটি কোণ > 90° |
সমকোণী ত্রিভুজে: অতিভুজ² = ভূমি² + লম্ব²
- মৌলিক সেট: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)
- গুণিতক সেট: (6,8,10), (9,12,15), (10,24,26), (15,36,39)...
- কোণ চেক: c² > a²+b² → স্থূলকোণী; c² < a²+b² → সূক্ষ্মকোণী
ত্রিভুজের গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু ও রেখা
- মধ্যমা (Median): শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত রেখা। তিনটি মধ্যমা ভরকেন্দ্রে (Centroid) মিলিত হয় — ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে
- উচ্চতা (Altitude): শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর উপর লম্ব। তিনটি উচ্চতা লম্ববিন্দুতে (Orthocentre) মিলিত হয়
- পরিকেন্দ্র (Circumcentre): তিন বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু — পরিবৃত্তের কেন্দ্র
- অন্তঃকেন্দ্র (Incentre): তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু — অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র
সদৃশতা ও সর্বসমতা
দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হলে → অনুরূপ বাহুর অনুপাত সমান
ক্ষেত্রফলের অনুপাত = বাহুর অনুপাতের বর্গ
বাহুর অনুপাত k:1 হলে → ক্ষেত্রফলের অনুপাত = k²:1
SSS (তিন বাহু) | SAS (দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ) | ASA (দুই কোণ ও ভূমি) | RHS (সমকোণ, অতিভুজ, এক বাহু)
🔍 সমাধিত উদাহরণ ২
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 9 সেমি ও অতিভুজ 15 সেমি হলে ক্ষেত্রফল কত?
লম্ব = √(15² − 9²) = √(225 − 81) = √144 = 12 সেমি
ক্ষেত্রফল = ½ × 9 × 12 = 54 বর্গ সেমি (3,4,5 সেটের 3× গুণিতক: 9,12,15)
📌 চতুর্ভুজ
| আকৃতি | ক্ষেত্রফল | পরিসীমা | বিশেষ ধর্ম |
|---|---|---|---|
| আয়তক্ষেত্র | l × b | 2(l + b) | কর্ণ = √(l²+b²) |
| বর্গক্ষেত্র | a² | 4a | কর্ণ = a√2 |
| সামন্তরিক | ভূমি × উচ্চতা | 2(a + b) | বিপরীত বাহু ও কোণ সমান |
| ট্রাপিজিয়াম | ½(a+b) × h | চার বাহুর যোগ | এক জোড়া সমান্তরাল বাহু |
| রম্বস | ½ × d₁ × d₂ | 4a | কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডন করে |
- বর্গক্ষেত্রের কর্ণ d হলে → ক্ষেত্রফল = d²/2
- আয়তক্ষেত্রে পথের প্রশ্নে → কর্ণ = √(l² + b²) ই সংক্ষিপ্ততম পথ
- রম্বসের বাহু = ½√(d₁² + d₂²)
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৩
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য 40 মিটার ও প্রস্থ 30 মিটার। মাঠের কর্ণ বরাবর হাঁটলে কত পথ কম পাড়ি দিতে হবে?
পরিসীমার পথ (দুই বাহু) = 40 + 30 = 70 মিটার
কর্ণপথ = √(40² + 30²) = √(1600 + 900) = √2500 = 50 মিটার
কম পাড়ি = 70 − 50 = 20 মিটার
📌 বৃত্ত
পরিধি (Circumference): 2πr = πd
ক্ষেত্রফল: πr²
চাপের দৈর্ঘ্য (Arc): (θ/360°) × 2πr
বৃত্তচ্ছেদের ক্ষেত্রফল (Sector): (θ/360°) × πr²
বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রফল (Segment): বৃত্তচ্ছেদ − ত্রিভুজ
- একই চাপের উপর: কেন্দ্রস্থ কোণ = 2 × পরিধিস্থ কোণ
- অর্ধবৃত্তের পরিধিস্থ কোণ: সর্বদা 90°
- একই বৃত্তচাপের উপর: সকল পরিধিস্থ কোণ সমান
- স্পর্শক (Tangent): স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধের সাথে 90° কোণ করে
- বহিঃস্থ বিন্দু থেকে: দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান
- জ্যা-এর দূরত্ব: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৪
প্রশ্ন: 14 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তে 60° কোণের বৃত্তচ্ছেদের ক্ষেত্রফল কত? (π = 22/7)
বৃত্তচ্ছেদের ক্ষেত্রফল = (60/360) × πr² = (1/6) × (22/7) × 14² = (1/6) × (22/7) × 196
= (1/6) × 616 = 102.67 বর্গ সেমি
📌 ঘনবস্তু (3D পরিমিতি)
ত্রিমাত্রিক বস্তুর আয়তন ও পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়। পরীক্ষায় পানির ট্যাংক, পাইপ, বল ইত্যাদি সংক্রান্ত সমস্যা আসে।
| আকৃতি | আয়তন | বক্রপৃষ্ঠ | সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল |
|---|---|---|---|
| ঘনক | a³ | 4a² | 6a² |
| আয়তাকার ঘনবস্তু | lbh | 2h(l+b) | 2(lb+bh+lh) |
| সিলিন্ডার | πr²h | 2πrh | 2πr(r+h) |
| শঙ্কু | ⅓πr²h | πrl | πr(r+l) |
| গোলক | (4/3)πr³ | 4πr² | 4πr² |
| অর্ধগোলক | (2/3)πr³ | 2πr² | 3πr² |
- তির্যক উচ্চতা (Slant height): l = √(r² + h²)
- ঘনকের কর্ণ = a√3
- আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ = √(l² + b² + h²)
π ≈ 22/7 ≈ 3.14। পরীক্ষায় সাধারণত 22/7 ব্যবহার করতে বলা হয়। শঙ্কু = ⅓ সিলিন্ডার, অর্ধগোলক = ⅔ সিলিন্ডার (একই ভূমি ও উচ্চতায়)।
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৫
প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 7 সেমি ও উচ্চতা 10 সেমি হলে আয়তন কত? (π = 22/7)
আয়তন = πr²h = (22/7) × 7² × 10 = (22/7) × 49 × 10 = 22 × 70 = 1540 ঘন সেমি
📌 স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)
BCS ও Bank পরীক্ষায় দুটি বিন্দুর দূরত্ব, মধ্যবিন্দু ও সরলরেখার সমীকরণ সংক্রান্ত প্রশ্ন আসে।
দূরত্ব সূত্র: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
মধ্যবিন্দু: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
ঢাল (Slope): m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
সরলরেখার সমীকরণ: y − y₁ = m(x − x₁)
মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব: |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²)
- সমান্তরাল রেখার ঢাল সমান (m₁ = m₂)
- লম্ব রেখার ঢালের গুণফল = −1 (m₁ × m₂ = −1)
- x-অক্ষের সমীকরণ: y = 0; y-অক্ষের সমীকরণ: x = 0
- তিন বিন্দু দিয়ে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½|x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৬
প্রশ্ন: (2, 3) ও (6, 6) বিন্দু দুটির দূরত্ব কত?
d = √((6−2)² + (6−3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5
📌 ত্রিকোণমিতি প্রাথমিক ধারণা
সমকোণী ত্রিভুজে কোণ ও বাহুর সম্পর্ক। উচ্চতা-দূরত্ব সমস্যায় অপরিহার্য।
sinθ = লম্ব / অতিভুজ cosθ = ভূমি / অতিভুজ tanθ = লম্ব / ভূমি
cosecθ = 1/sinθ secθ = 1/cosθ cotθ = 1/tanθ
| কোণ | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | অসংজ্ঞায়িত |
- sin²θ + cos²θ = 1 (সব সময় সত্য)
- sec²θ − tan²θ = 1
- cosec²θ − cot²θ = 1
- sin(90°−θ) = cosθ, cos(90°−θ) = sinθ
sin 0°, 30°, 45°, 60°, 90° = √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 → অর্থাৎ 0, ½, 1/√2, √3/2, 1
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৭
প্রশ্ন: একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 20 মিটার এবং মাটির সাথে সূর্যরশ্মির কোণ 60°। গাছের উচ্চতা কত?
tan60° = উচ্চতা / ছায়া → √3 = h/20 → h = 20√3 ≈ 34.64 মিটার
📌 পরীক্ষার শর্টকাট কৌশল
- আয়তক্ষেত্রের চারপাশে w চওড়া পথ → পথের ক্ষেত্রফল = 2w(l + b + 2w)
- বৃত্তাকার পথ (ভিতরে r, বাইরে R) → পথের ক্ষেত্রফল = π(R² − r²) = π(R+r)(R−r)
- বৃত্তের ব্যাসার্ধ n% বাড়লে → ক্ষেত্রফল (2n + n²/100)% বাড়ে
- আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a% বৃদ্ধি ও প্রস্থ b% হ্রাস → ক্ষেত্রফল পরিবর্তন = (a − b − ab/100)%
- ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ → ক্ষেত্রফল 4 গুণ, আয়তন 8 গুণ
- তারকে গলিয়ে বৃত্ত বানালে → দৈর্ঘ্য = পরিধি (2πr = তারের দৈর্ঘ্য)
- বর্গক্ষেত্রের কর্ণ দেওয়া থাকলে → বাহু = কর্ণ/√2, ক্ষেত্রফল = কর্ণ²/2
- সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = (√3/2) × বাহু
- 1 হেক্টর = 10,000 বর্গ মিটার, 1 একর ≈ 4,047 বর্গ মিটার
১. বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও পরিধি ২. পিথাগোরাস সেট ৩. ঘনবস্তুর আয়তন ৪. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৫. বহুভুজের কোণ ৬. উচ্চতা-দূরত্ব (ত্রিকোণমিতি)