📌 সংখ্যার প্রকারভেদ
| প্রকার | বিবরণ | উদাহরণ |
|---|---|---|
| স্বাভাবিক সংখ্যা (ℕ) | ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা (0 ছাড়া) | 1, 2, 3, 4, ... |
| পূর্ণ সংখ্যা (W) | 0 সহ সকল স্বাভাবিক সংখ্যা | 0, 1, 2, 3, ... |
| পূর্ণসংখ্যা (ℤ) | ধনাত্মক, ঋণাত্মক ও 0 | ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... |
| মৌলিক সংখ্যা | যার ভাজক শুধু 1 ও নিজে | 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... |
| যৌগিক সংখ্যা | 1 ও নিজে ছাড়া আরও ভাজক আছে | 4, 6, 8, 9, 10, ... |
| জোড় সংখ্যা | 2 দ্বারা বিভাজ্য | 2, 4, 6, 8, ... |
| বিজোড় সংখ্যা | 2 দ্বারা বিভাজ্য নয় | 1, 3, 5, 7, ... |
| মূলদ সংখ্যা (ℚ) | p/q আকারে প্রকাশযোগ্য (q≠0) | ½, 0.75, −3, 7 |
| অমূলদ সংখ্যা | p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না | √2, √3, π, e |
| সহমৌলিক | গ.সা.গু = 1 এমন দুটি সংখ্যা | (8,15), (9,16) |
- 1 মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়
- 2 একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা
- 1 থেকে 100 পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা = 25টি
- পরপর দুটি মৌলিক সংখ্যাকে যমজ মৌলিক বলে: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31)
- পারফেক্ট নাম্বার: নিজে ছাড়া সকল ভাজকের যোগফল = নিজে। যেমন: 6 (1+2+3=6), 28 (1+2+4+7+14=28)
- গোল্ডবাখ অনুমান: 2 এর চেয়ে বড় প্রতিটি জোড় সংখ্যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল (যেমন 8=3+5)
📌 মৌলিক সংখ্যা বিস্তারিত
1 থেকে 100 পর্যন্ত 25টি মৌলিক সংখ্যা
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় পদ্ধতি (√ পদ্ধতি)
- n সংখ্যাটি মৌলিক কিনা জানতে √n পর্যন্ত সকল মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করুন
- কোনোটি দ্বারা বিভাজ্য না হলে → মৌলিক
- উদাহরণ: 97 → √97 ≈ 9.8 → 2, 3, 5, 7 দিয়ে ভাগ করুন → কোনোটিতে ভাগ যায় না → 97 মৌলিক
- উদাহরণ: 91 → √91 ≈ 9.5 → 91÷7 = 13 → 91 যৌগিক (7×13)
| পরিসীমা | মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা |
|---|---|
| 1 − 10 | 4 (2, 3, 5, 7) |
| 1 − 50 | 15 |
| 1 − 100 | 25 |
| 1 − 200 | 46 |
| 1 − 1000 | 168 |
📌 বিভাজ্যতার নিয়ম
| ভাজক | নিয়ম | উদাহরণ |
|---|---|---|
| 2 | শেষ অঙ্ক জোড় বা 0 | 124 ✓, 357 ✗ |
| 3 | অঙ্কগুলোর যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য | 123 → 1+2+3=6 ✓ |
| 4 | শেষ দুই অঙ্ক 4 দ্বারা বিভাজ্য বা 00 | 312 → 12÷4=3 ✓ |
| 5 | শেষ অঙ্ক 0 বা 5 | 125 ✓, 130 ✓ |
| 6 | 2 এবং 3 উভয় দ্বারা বিভাজ্য | 126 ✓ |
| 7 | শেষ অঙ্ক বাদ দিয়ে বাকি − ২×শেষ অঙ্ক; ফলাফল 7 দ্বারা বিভাজ্য | 203 → 20−2×3=14 ✓ |
| 8 | শেষ তিন অঙ্ক 8 দ্বারা বিভাজ্য বা 000 | 1024 → 024÷8=3 ✓ |
| 9 | অঙ্কগুলোর যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য | 729 → 7+2+9=18 ✓ |
| 11 | বিকল্প অঙ্কের যোগফলের পার্থক্য 0 বা 11 দ্বারা বিভাজ্য | 121 → (1+1)−2=0 ✓ |
| 12 | 3 এবং 4 উভয় দ্বারা বিভাজ্য | 132 → 3 ✓, 4(32÷4=8) ✓ |
| 15 | 3 এবং 5 উভয় দ্বারা বিভাজ্য | 225 → 3 ✓, 5 ✓ |
| 25 | শেষ দুই অঙ্ক 25 দ্বারা বিভাজ্য বা 00 | 375 → 75÷25=3 ✓ |
🔍 সমাধিত উদাহরণ ১
প্রশ্ন: 7896 সংখ্যাটি 4, 6, এবং 8 দ্বারা বিভাজ্য কিনা নির্ণয় করুন।
4 দ্বারা: শেষ দুই অঙ্ক 96 → 96÷4=24 → ✓ বিভাজ্য
6 দ্বারা: শেষ অঙ্ক 6 (জোড়=2✓), 7+8+9+6=30 (3 দ্বারা বিভাজ্য✓) → ✓ বিভাজ্য
8 দ্বারা: শেষ তিন অঙ্ক 896 → 896÷8=112 → ✓ বিভাজ্য
📌 মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ
যেকোনো যৌগিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়। এটাকে মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ (Prime Factorization) বলে।
120 = 2 × 60 = 2 × 2 × 30 = 2 × 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3¹ × 5¹
360 = 2³ × 3² × 5¹
500 = 2² × 5³
ভাজক সংখ্যা নির্ণয় সূত্র
N = p₁a × p₂b × p₃c হলে:
মোট ভাজক সংখ্যা = (a+1)(b+1)(c+1)
ভাজকগুলোর যোগফল = [(p₁a+1−1)/(p₁−1)] × [(p₂b+1−1)/(p₂−1)] × ...
🔍 সমাধিত উদাহরণ ২
প্রশ্ন: 360 এর কতটি ভাজক আছে?
360 = 2³ × 3² × 5¹
ভাজক সংখ্যা = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24টি
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৩
প্রশ্ন: 36 এর সকল ভাজক বের করুন।
36 = 2² × 3² → ভাজক সংখ্যা = (2+1)(2+1) = 9টি
ভাজকগুলো: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
📌 গ.সা.গু ও ল.সা.গু
গ.সা.গু (GCD/HCF): দুটি সংখ্যার সবচেয়ে বড় সাধারণ ভাজক
ল.সা.গু (LCM): দুটি সংখ্যার সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক
সম্পর্ক: GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b
গুণনীয়ক পদ্ধতি: গ.সা.গু = সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কের ক্ষুদ্রতম ঘাত; ল.সা.গু = সকল মৌলিক গুণনীয়কের বৃহত্তম ঘাত
শর্টকাট: ইউক্লিডের পদ্ধতি (গ.সা.গু)
উদাহরণ: GCD(48, 18)
- 48 ÷ 18 = 2, ভাগশেষ = 12
- 18 ÷ 12 = 1, ভাগশেষ = 6
- 12 ÷ 6 = 2, ভাগশেষ = 0 → GCD = 6
LCM(48, 18) = (48 × 18) ÷ 6 = 144
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৪
প্রশ্ন: 24 ও 36 এর গ.সা.গু ও ল.সা.গু বের করুন।
24 = 2³ × 3¹, 36 = 2² × 3²
গ.সা.গু = 2min(3,2) × 3min(1,2) = 2² × 3¹ = 12
ল.সা.গু = 2max(3,2) × 3max(1,2) = 2³ × 3² = 72
যাচাই: 12 × 72 = 864 = 24 × 36 ✓
- গ.সা.গু: প্রথমে দুটির GCD বের করুন, তারপর সেই GCD ও তৃতীয় সংখ্যার GCD বের করুন
- ল.সা.গু: প্রথমে দুটির LCM বের করুন, তারপর সেই LCM ও তৃতীয় সংখ্যার LCM বের করুন
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৫
প্রশ্ন: 2, 3 ও 5 এর ল.সা.গু কত?
2, 3, 5 সবই মৌলিক → গ.সা.গু = 1
ল.সা.গু = 2 × 3 × 5 = 30
✦ সহমৌলিক সংখ্যাদের ল.সা.গু = তাদের গুণফল
📌 বাস্তব সমস্যায় গ.সা.গু/ল.সা.গু প্রয়োগ
- গ.সা.গু: সবচেয়ে বড় মান চাইলে, সমানভাবে ভাগ করতে, কাটতে → "সর্বোচ্চ", "সবচেয়ে বড়"
- ল.সা.গু: একসাথে শুরু করতে, পুনরাবৃত্তি → "একসাথে", "আবার কখন", "সর্বনিম্ন"
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৬
প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে 3, 4 ও 6 মিনিট পরপর বাজে। একসাথে বাজার কত মিনিট পরে আবার একসাথে বাজবে?
"আবার একসাথে" = ল.সা.গু ব্যবহার
LCM(3, 4, 6) → LCM(3,4)=12, LCM(12,6)=12
উত্তর: 12 মিনিট পরে আবার একসাথে বাজবে
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৭
প্রশ্ন: 12 মিটার, 18 মিটার ও 24 মিটার দৈর্ঘ্যের তিনটি দড়িকে সর্বোচ্চ কত দৈর্ঘ্যের সমান টুকরো করা যাবে?
"সর্বোচ্চ সমান" = গ.সা.গু ব্যবহার
GCD(12, 18, 24) → GCD(12,18)=6, GCD(6,24)=6
উত্তর: 6 মিটার দৈর্ঘ্যের টুকরো
মোট টুকরো = 12/6 + 18/6 + 24/6 = 2 + 3 + 4 = 9টি
📌 ধারাবাহিক সংখ্যার সূত্র
প্রথম n টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = n(n+1)/2
প্রথম n টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল = n(n+1)(2n+1)/6
প্রথম n টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের যোগফল = [n(n+1)/2]²
প্রথম n টি জোড় সংখ্যার যোগফল = n(n+1)
প্রথম n টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n²
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৮
প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ... + 50 = ?
n(n+1)/2 = 50 × 51 / 2 = 1275
📌 ভাগশেষ সংক্রান্ত গুরুত্বপূর্ণ তথ্য
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
ভাগশেষ সর্বদা ভাজকের চেয়ে ছোট
- একটি সংখ্যাকে 5 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 3 → সংখ্যাটি 5k+3 আকারের (3, 8, 13, 18...)
- সবচেয়ে ছোট সংখ্যা যা n দ্বারা ভাগ করলে r ভাগশেষ থাকে: উত্তর = r (যদি r > 0), অন্যথায় n
- সবচেয়ে বড় n-অঙ্কের সংখ্যা যা d দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য: বৃহত্তম n-অঙ্কের সংখ্যা − ভাগশেষ
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৯
প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম সংখ্যা কোনটি যাকে 12, 18 ও 24 দিয়ে ভাগ করলে প্রতিবার 5 ভাগশেষ থাকে?
LCM(12, 18, 24) = 72
চাই: 72k + 5, k=1 → 72 + 5 = 77
📌 পরীক্ষার শর্টকাট কৌশল
- পরপর n টি সংখ্যার গুণফল: সর্বদা n! দ্বারা বিভাজ্য
- n(n+1): সর্বদা 2 দ্বারা বিভাজ্য (একটি জোড় আরেকটি বিজোড়)
- n(n+1)(n+2): সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য
- n² − 1 = (n−1)(n+1): মৌলিক n>3 হলে, n²−1 সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য
- জোড় + জোড় = জোড়, বিজোড় + বিজোড় = জোড়, জোড় + বিজোড় = বিজোড়
- জোড় × যেকোনো = জোড়, বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়
- একটি সংখ্যা ও তার অঙ্কগুলোর যোগফলের পার্থক্য: সর্বদা 9 দ্বারা বিভাজ্য
১. বিভাজ্যতা ২. গ.সা.গু/ল.সা.গু (প্রায়োগিক) ৩. মৌলিক সংখ্যা (চেনা/গণনা) ৪. ভাজক সংখ্যা নির্ণয় ৫. ধারাবাহিক যোগফল