📌 ভগ্নাংশের প্রকারভেদ
| প্রকার | শর্ত | উদাহরণ |
|---|---|---|
| প্রকৃত ভগ্নাংশ | লব < হর | 3/7, 2/5, 1/4 |
| অপ্রকৃত ভগ্নাংশ | লব ≥ হর | 7/3, 5/2, 9/4 |
| মিশ্র ভগ্নাংশ | পূর্ণসংখ্যা + প্রকৃত ভগ্নাংশ | 2³⁄₇ = 17/7 |
| সুসম ভগ্নাংশ | লব ও হরের গ.সা.গু = 1 | 3/7, 5/9 |
- যোগ/বিয়োগ: হর সমান করে লব যোগ/বিয়োগ করুন
- গুণ: লব×লব / হর×হর (3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10)
- ভাগ: উল্টো করে গুণ (3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8)
ভগ্নাংশ তুলনা — Cross Multiply শর্টকাট
a/b ও c/d তুলনা: a×d ও b×c তুলনা করুন
উদাহরণ: 3/7 vs 5/11 → 3×11=33, 7×5=35 → 33 < 35 → 3/7 < 5/11
🔍 সমাধিত উদাহরণ ১
প্রশ্ন: 2/5 + 3/4 = ?
ল.সা.গু(5,4) = 20
2/5 = 8/20, 3/4 = 15/20
8/20 + 15/20 = 23/20 = 1³⁄₂₀
📌 শতকরা ↔ ভগ্নাংশ ↔ দশমিক রূপান্তর
পরীক্ষায় দ্রুত সমাধানের জন্য এই রূপান্তর টেবিলটি মুখস্থ রাখুন:
| ভগ্নাংশ | শতকরা | দশমিক |
|---|---|---|
| 1/2 | 50% | 0.5 |
| 1/3 | 33.33% | 0.333... |
| 1/4 | 25% | 0.25 |
| 1/5 | 20% | 0.2 |
| 1/6 | 16.67% | 0.1667 |
| 1/7 | 14.28% | 0.1428 |
| 1/8 | 12.5% | 0.125 |
| 1/9 | 11.11% | 0.111... |
| 1/10 | 10% | 0.1 |
| 1/11 | 9.09% | 0.0909 |
| 1/12 | 8.33% | 0.0833 |
| 2/3 | 66.67% | 0.667 |
| 3/4 | 75% | 0.75 |
| 2/5 | 40% | 0.4 |
| 3/5 | 60% | 0.6 |
| 5/6 | 83.33% | 0.833 |
| 3/8 | 37.5% | 0.375 |
| 5/8 | 62.5% | 0.625 |
| 7/8 | 87.5% | 0.875 |
📌 দশমিক থেকে ভগ্নাংশ রূপান্তর
- 0.75 = 75/100 = 3/4
- 0.125 = 125/1000 = 1/8
- 2.5 = 25/10 = 5/2
0.333... = 3/9 = 1/3
0.666... = 6/9 = 2/3
0.142857... = 1/7
0.̅a̅ = a/9 | 0.a̅b̅ = ab/99 | 0.a̅b̅c̅ = abc/999
উদাহরণ: 0.272727... = 27/99 = 3/11
🔍 সমাধিত উদাহরণ ২
প্রশ্ন: 0.454545... কে ভগ্নাংশে প্রকাশ করুন।
0.454545... = 45/99 = 5/11
📌 শতকরা শর্টকাট
বৃদ্ধি/হ্রাস: নতুন মান = মূল মান × (1 ± r/100)
শতকরা পরিবর্তন: = (পার্থক্য / মূল মান) × 100%
A, B-এর চেয়ে কত % বেশি: = (A−B)/B × 100%
A, B-এর চেয়ে কত % কম: = (B−A)/B × 100%
- 10% বের করুন: সংখ্যার শেষে একটি শূন্য বসান (350 এর 10% = 35)
- 5%: 10% এর অর্ধেক (350 এর 5% = 17.5)
- 1%: দুটি শূন্য বসান (350 এর 1% = 3.5)
- মিলিয়ে বের করুন: 350 এর 12% = 10%+1%+1% = 35+3.5+3.5 = 42
- 15%: 10% + 5% = 35 + 17.5 = 52.5
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৩
প্রশ্ন: 400 এর 17.5% কত?
10% = 40, 5% = 20, 2.5% = 10
17.5% = 10% + 5% + 2.5% = 40 + 20 + 10 = 70
📌 ক্রমিক শতকরা পরিবর্তন
প্রথমে a% পরিবর্তন, তারপর b% পরিবর্তন:
বিশেষ মোট পরিবর্তন = (a + b + ab/100)%
বৃদ্ধির জন্য + চিহ্ন, হ্রাসের জন্য − চিহ্ন ব্যবহার করুন
| প্রথম পরিবর্তন | দ্বিতীয় পরিবর্তন | নিট ফলাফল |
|---|---|---|
| +20% | +10% | 20+10+200/100 = +32% |
| +20% | −20% | 20−20−400/100 = −4% |
| +10% | +10% | 10+10+100/100 = +21% |
| +25% | −20% | 25−20−500/100 = 0% |
| −10% | −10% | −10−10+100/100 = −19% |
- r% বাড়লে আগের মানে ফেরত কত% কমাতে হবে? r/(100+r) × 100
- r% কমলে আগের মানে ফেরত কত% বাড়াতে হবে? r/(100−r) × 100
- 20% বাড়লে → 20/120×100 = 16.67% কমাতে হবে
- 20% কমলে → 20/80×100 = 25% বাড়াতে হবে
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৪
প্রশ্ন: একটি জিনিসের দাম 30% কমলে কত % বাড়ালে আগের দামে ফিরবে?
r/(100−r) × 100 = 30/(100−30) × 100 = 30/70 × 100 = 42.86% বাড়াতে হবে
📌 জনসংখ্যা/মূল্য বৃদ্ধি-হ্রাস
n বছর পর মান = P × (1 + r/100)ⁿ (বৃদ্ধিতে)
n বছর পর মান = P × (1 − r/100)ⁿ (হ্রাসে)
n বছর আগে মান = P / (1 ± r/100)ⁿ
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৫
প্রশ্ন: একটি শহরের জনসংখ্যা 5,00,000। প্রতিবছর 10% হারে বাড়লে 2 বছর পর জনসংখ্যা কত?
= 5,00,000 × (1 + 10/100)² = 5,00,000 × (11/10)² = 5,00,000 × 121/100
= 6,05,000
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৬
প্রশ্ন: একটি যন্ত্রের মূল্য প্রতিবছর 20% কমে। 3 বছর পর মূল্য 51,200 টাকা হলে বর্তমান মূল্য কত?
P = 51,200 / (1 − 20/100)³ = 51,200 / (4/5)³ = 51,200 / (64/125)
= 51,200 × 125/64 = 1,00,000 টাকা
📌 নির্বাচন ও ভোটের সমস্যা
প্রাপ্ত ভোটের শতকরা = (প্রাপ্ত ভোট / মোট বৈধ ভোট) × 100
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৭
প্রশ্ন: একটি নির্বাচনে মোট ভোটার 25,000। বিজয়ী প্রার্থী 60% ভোট পেলেন। তিনি কতটি ভোট পেলেন? পরাজিত প্রার্থী কতটি ভোট পেলেন?
বিজয়ী: 25,000 × 60/100 = 15,000 ভোট
পরাজিত: 25,000 − 15,000 = 10,000 ভোট
📌 মিশ্রণ ও ডিসকাউন্ট সমস্যা
- দুটি জিনিস a:b অনুপাতে মেশালে মিশ্রণের শতকরা = a/(a+b) × 100% ও b/(a+b) × 100%
- 50 কেজি চিনিতে 35 কেজি চাল মেশালে চালের শতকরা = 35/50 × 100 = 70%
একটি ডিসকাউন্টে মূল্য = চিহ্নিত মূল্য × (1 − d/100)
দুটি ক্রমিক ডিসকাউন্ট d₁% ও d₂%:
মূল্য = চিহ্নিত মূল্য × (1 − d₁/100) × (1 − d₂/100)
সমতুল্য একক ডিসকাউন্ট = d₁ + d₂ − (d₁×d₂/100)
🔍 সমাধিত উদাহরণ ৮
প্রশ্ন: একটি জামার চিহ্নিত মূল্য 1000 টাকা। ক্রমাগত 20% ও 10% ডিসকাউন্টে বিক্রয়মূল্য কত?
= 1000 × (1 − 20/100) × (1 − 10/100) = 1000 × 0.8 × 0.9 = 720 টাকা
সমতুল্য একক ডিসকাউন্ট = 20+10−(20×10/100) = 28%
📌 পরীক্ষার শর্টকাট কৌশল
- "কত % বেশি" দেখলে: ভাগে যার থেকে বেশি তাকে হরে বসান
- "মূল সংখ্যা বের করো" দেখলে: x × r% = মান → x = মান × 100/r
- a, b-এর চেয়ে কত% বেশি: (a−b)/b × 100 | কত% কম: (b−a)/b × 100
- ক্রমিক % বাড়া-কমা: (a + b + ab/100)% মুখস্থ রাখুন
- 25% বাড়া = ×5/4 | 25% কমা = ×3/4
- 20% বাড়া = ×6/5 | 20% কমা = ×4/5
- 50% বাড়া = ×3/2 | 50% কমা = ×1/2
- 10% বাড়া = ×11/10 | 10% কমা = ×9/10
১. ভগ্নাংশ↔শতকরা রূপান্তর ২. ক্রমিক % পরিবর্তন ৩. বৃদ্ধি-হ্রাস সম্পর্ক ৪. জনসংখ্যা/মূল্য (n বছর) ৫. নির্বাচন/ভোট ৬. ক্রমিক ডিসকাউন্ট