📌 অনুপাত (Ratio) — মূল ধারণা
অনুপাত হলো একই একক-বিশিষ্ট দুটি রাশির তুলনা। BCS, Bank ও NTRCA পরীক্ষায় অনুপাত থেকে ২-৫টি প্রশ্ন আসে। শুরুতে পরিভাষাগুলো বুঝে নিন:
| পরিভাষা | ইংরেজি | অর্থ | উদাহরণ |
|---|---|---|---|
| পূর্বপদ | Antecedent | অনুপাতের বাম পদ | a : b তে a |
| অপরপদ | Consequent | অনুপাতের ডান পদ | a : b তে b |
| সরলীকরণ | Simplification | গ.সা.গু দিয়ে ভাগ | 12:18 = 2:3 |
| বিপরীত অনুপাত | Inverse Ratio | পদ দুটি উল্টানো | a:b → b:a |
| যৌগিক অনুপাত | Compound Ratio | পূর্বপদ × পূর্বপদ : অপরপদ × অপরপদ | (2:3) ও (4:5) → 8:15 |
| দ্বৈত অনুপাত | Duplicate Ratio | a²:b² | 3:4 → 9:16 |
| ত্রৈত অনুপাত | Triplicate Ratio | a³:b³ | 2:3 → 8:27 |
| বর্গমূল অনুপাত | Sub-duplicate | √a:√b | 9:16 → 3:4 |
সরলীকরণ: উভয় পদকে গ.সা.গু দিয়ে ভাগ → 12:18 = 2:3 (গ.সা.গু 6)
তুলনা: ভগ্নাংশে রূপান্তর → 2:3 = 2/3, 3:4 = 3/4 → যেটা বড় সেটা বড় অনুপাত
a:b = c:d হলে → a/b = c/d → ad = bc (আড়গুণন)
দুটি অনুপাত জুড়ে তিনটি রাশির অনুপাত বের করা
a:b = 2:3, b:c = 4:5 হলে — b-কে সমান করুন:
a:b = 2:3 → ×4 → 8:12
b:c = 4:5 → ×3 → 12:15
∴ a:b:c = 8:12:15
a:b:c = 2:3:5 এবং মোট = 200 হলে → মোট ভাগ = 2+3+5 = 10
a = 200 × 2/10 = 40, b = 200 × 3/10 = 60, c = 200 × 5/10 = 100
এই "মোট ভাগ" পদ্ধতি পরীক্ষায় সবচেয়ে বেশি কাজে লাগে!
📌 সমানুপাত (Proportion)
চারটি রাশি a, b, c, d সমানুপাতিক হলে → a : b = c : d → ad = bc (আড়গুণন সমান)।
এখানে a ও d কে বহিঃপদ, b ও c কে মধ্যপদ বলে।
সমানুপাতের প্রকারভেদ
| প্রকার | সংজ্ঞা | উদাহরণ | ব্যবহার |
|---|---|---|---|
| সরল সমানুপাত | একটি বাড়লে অন্যটি বাড়ে (বা কমলে কমে) | বেশি জিনিস → বেশি দাম | দাম, পরিমাণ |
| ব্যস্ত সমানুপাত | একটি বাড়লে অন্যটি কমে | বেশি লোক → কম সময় | কাজ, গতি-সময় |
| মিশ্র সমানুপাত | কিছু সরল + কিছু ব্যস্ত | বেশি লোক + বেশি ঘণ্টা → বেশি কাজ | Chained problems |
Componendo: a:b = c:d → (a+b):b = (c+d):d
Dividendo: a:b = c:d → (a−b):b = (c−d):d
Alternendo: a:b = c:d → a:c = b:d
Invertendo: a:b = c:d → b:a = d:c
প্রশ্ন: 15 জন শ্রমিক একটি কাজ 20 দিনে করতে পারে। 12 জনে কত দিনে করবে?
সমাধান: লোক বেশি → দিন কম (ব্যস্ত)। 15 × 20 = 12 × x → x = 300/12 = 25 দিন
📌 তৃতীয়, চতুর্থ ও মধ্য সমানুপাতিক
চতুর্থ সমানুপাতিক: a : b = c : x → x = bc / a
তৃতীয় সমানুপাতিক: a : b = b : x → x = b² / a
মধ্য সমানুপাতিক: a : x = x : b → x = √(ab)
| প্রকার | সূত্র | উদাহরণ |
|---|---|---|
| চতুর্থ সমানুপাতিক (2, 3, 6 এর) | x = (3×6)/2 | x = 9 |
| তৃতীয় সমানুপাতিক (4, 12 এর) | x = 12²/4 | x = 144/4 = 36 |
| মধ্য সমানুপাতিক (3, 27 এর) | x = √(3×27) | x = √81 = 9 |
- তৃতীয় সমানুপাতিক: a, b, x — মানে a:b = b:x → x = b²/a
- চতুর্থ সমানুপাতিক: a, b, c, x — মানে a:b = c:x → x = bc/a
- মধ্য সমানুপাতিক: a, x, b — মানে a:x = x:b → x = √(ab)
- পরীক্ষায় "তৃতীয়" আর "চতুর্থ" গুলিয়ে যায় — সংখ্যা ক'টি দেওয়া সেটা দেখুন!
📌 গড় ও ভারিত গড় (Average)
সরল গড় = মোট যোগফল ÷ সংখ্যার পরিমাণ
ভারিত গড় = (w₁x₁ + w₂x₂ + ...) ÷ (w₁ + w₂ + ...)
যোগফল = গড় × সংখ্যার পরিমাণ
- ① n টি ধারাবাহিক সংখ্যার গড় = (প্রথম + শেষ) / 2
- ② 1 থেকে n পর্যন্ত ধারাবাহিক সংখ্যার গড় = (n+1)/2
- ③ 1 থেকে n পর্যন্ত জোড় সংখ্যার গড় = (n+1) [n = শেষ জোড়/2]
- ④ 1 থেকে n পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যার গড় = n [n = (শেষ বিজোড়+1)/2]
- ⑤ নতুন সংখ্যা যোগে গড়ের পরিবর্তন = (নতুন − পুরাতন গড়) ÷ নতুন মোট সংখ্যা
- ⑥ কোনো সংখ্যা বাদ পড়লে নতুন গড় = (পুরাতন যোগফল − বাদ সংখ্যা) ÷ (n−1)
- ⑦ প্রত্যেকটি সংখ্যা k যোগ/বিয়োগ করলে → গড়ও k বাড়ে/কমে
- ⑧ প্রত্যেকটি সংখ্যা k দিয়ে গুণ/ভাগ করলে → গড়ও k দিয়ে গুণ/ভাগ হয়
প্রশ্ন: 5 জনের গড় বয়স 20। একজন নতুন লোক এলে গড় 22 হয়। নতুন লোকের বয়স কত?
সমাধান: পুরাতন যোগফল = 5×20 = 100। নতুন মোট = 6×22 = 132। নতুন বয়স = 132−100 = 32 বছর
প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 30 জন ছেলের গড় নম্বর 60 ও 20 জন মেয়ের গড় নম্বর 70 হলে পুরো ক্লাসের গড় কত?
সমাধান: ভারিত গড় = (30×60 + 20×70) ÷ (30+20) = (1800+1400)/50 = 3200/50 = 64
বড় সংখ্যার গড় বের করতে একটি আনুমানিক গড় (A) ধরুন, তারপর:
প্রকৃত গড় = A + (বিচ্যুতিগুলোর গড়)
যেমন: 98, 102, 97, 103 → A=100 ধরলে বিচ্যুতি: −2, +2, −3, +3 → বিচ্যুতির গড় = 0 → গড় = 100
📌 মিশ্রণ ও Alligation
দুটি ভিন্ন দামের বা মানের জিনিস মিশিয়ে একটি মিশ্রণ তৈরি করলে তাদের অনুপাত বের করার পদ্ধতিই Alligation।
সস্তা : দামি = (দামি দর − গড় দর) : (গড় দর − সস্তা দর)
অর্থাৎ: "ক্রস করে বিয়োগ" — গড় থেকে দূরত্বের অনুপাত।
সস্তা দর (C) দামি দর (D)
\ /
গড় দর (M)
/ \
(D − M) (M − C)
সস্তা : দামি = (D−M) : (M−C)
প্রশ্ন: 40 টাকা/কেজি ও 60 টাকা/কেজি চা মিশিয়ে 45 টাকা/কেজি করতে হলে অনুপাত কত?
সমাধান: সস্তা : দামি = (60−45) : (45−40) = 15 : 5 = 3 : 1
বারবার প্রতিস্থাপন (Replacement)
n লিটার দ্রবণ থেকে প্রতিবার x লিটার বের করে পানি দিলে, k বার পর বিশুদ্ধ অংশের পরিমাণ:
বিশুদ্ধ অংশ = n × (1 − x/n)ᵏ
প্রশ্ন: 20 লিটার দুধ থেকে 4 লিটার বের করে পানি দেওয়া হয়। 3 বার পর কত লিটার দুধ থাকবে?
সমাধান: দুধ = 20 × (1 − 4/20)³ = 20 × (4/5)³ = 20 × 64/125 = 10.24 লিটার
📌 অংশীদারি ব্যবসা (Partnership)
দুই বা ততোধিক ব্যক্তি মিলে ব্যবসা করলে মূলধন ও সময়ের অনুপাতে লাভ ভাগ হয়।
সরল অংশীদারি (সবাই একই সময়): লাভ ভাগ = মূলধনের অনুপাতে
যৌগিক অংশীদারি (সময় ভিন্ন): A-র ভাগ : B-র ভাগ = (A-র মূলধন × সময়) : (B-র মূলধন × সময়)
প্রশ্ন: A 5000 টাকা দিয়ে ব্যবসা শুরু করে। 4 মাস পর B 8000 টাকা দিয়ে যোগ দেয়। বছরশেষে 1380 টাকা লাভ হলে কে কত পাবে?
সমাধান: A-র ভাগ = 5000×12 = 60000, B-র ভাগ = 8000×8 = 64000
অনুপাত = 60000:64000 = 15:16
A পাবে = 1380 × 15/31 = 667.74 ≈ 668 টাকা
B পাবে = 1380 × 16/31 = 712.26 ≈ 712 টাকা
- সবার সময় সমান না হলে শুধু মূলধনের অনুপাত ধরলে ভুল হবে — সময় গুণ করতে ভুলবেন না!
- "B ৪ মাস পর যোগ দিল" মানে B ব্যবসায় ছিল 12−4 = 8 মাস
- কেউ শুধু শ্রম দিলে (মূলধন না দিলে) তার ভাগ আলাদাভাবে বলা থাকবে।
📌 ধাপে ধাপে সমাধান
প্রশ্ন: 3500 টাকা A, B, C-র মধ্যে 2:3:5 অনুপাতে ভাগ করলে প্রত্যেকে কত পাবে?
ধাপ ১: মোট ভাগ = 2+3+5 = 10
ধাপ ২: প্রতি ভাগ = 3500/10 = 350
উত্তর: A = 2×350 = 700, B = 3×350 = 1050, C = 5×350 = 1750
প্রশ্ন: 3 ও 12 এর তৃতীয় সমানুপাতিক কত?
ধাপ ১: a:b = b:x সূত্রে → 3:12 = 12:x
ধাপ ২: x = b²/a = 12²/3 = 144/3
উত্তর: x = 48
প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের 40 ইনিংসে গড় 50। 41-তম ইনিংসে কত রান করলে গড় 51 হবে?
ধাপ ১: 40 ইনিংসে মোট রান = 40 × 50 = 2000
ধাপ ২: 41 ইনিংসে নতুন মোট = 41 × 51 = 2091
উত্তর: 41-তম ইনিংসে রান = 2091 − 2000 = 91
প্রশ্ন: 20 টাকা/কেজি ও 30 টাকা/কেজি চাল মিশিয়ে 24 টাকা/কেজি দরে বিক্রি করতে হলে কোন অনুপাতে মেশাতে হবে?
ধাপ ১: সস্তা:দামি = (30−24):(24−20) = 6:4
উত্তর: = 3:2
প্রশ্ন: (x+y)/(x−y) = 3/1 হলে x:y = ?
ধাপ ১: Componendo-Dividendo: (x+y+x−y)/(x+y−x+y) = (3+1)/(3−1)
ধাপ ২: 2x/2y = 4/2
উত্তর: x:y = 2:1
প্রশ্ন: 50 লিটার দুধের পাত্র থেকে 10 লিটার বের করে পানি মেশানো হলো। দ্বিতীয়বার একই কাজ করার পর দুধ ও পানির অনুপাত কত?
ধাপ ১: দুধ = 50 × (1−10/50)² = 50 × (4/5)² = 50 × 16/25 = 32
ধাপ ২: পানি = 50 − 32 = 18
উত্তর: দুধ:পানি = 32:18 = 16:9
📌 পরীক্ষার কৌশল
- অনুপাতে বণ্টন: টাকা/সম্পদ ভাগ — প্রায় প্রতি পরীক্ষায় ১টি
- তৃতীয়/চতুর্থ/মধ্য সমানুপাতিক: সরাসরি সূত্র প্রয়োগ — BCS Preliminary-তে কমন
- গড়ের পরিবর্তন: নতুন সদস্য যোগ/বাদে গড় পরিবর্তন — Bank পরীক্ষায় বেশি
- অংশীদারি ব্যবসা: মূলধন × সময় অনুপাত — Bank Job-এর ফেভারিট
- Alligation: মিশ্রণ ও দাম নির্ণয় — মাঝে মাঝে আসে
- "মোট ভাগ" পদ্ধতি: অনুপাত ভাগ করতে পদ যোগ করে মোট ভাগ বের করুন → সবচেয়ে দ্রুত
- আড়গুণন: সমানুপাতের সমস্যায় সরাসরি ad = bc ব্যবহার করুন
- Alligation চিত্র: জটিল মিশ্রণে চিত্র এঁকে "ক্রস বিয়োগ" করুন — ৫ সেকেন্ডে উত্তর
- গড়ে বিচ্যুতি: বড় সংখ্যায় আনুমানিক গড় ধরে বিচ্যুতি দিয়ে করুন
- অপশন যাচাই: MCQ-তে অপশন প্রয়োগ করে দেখুন মিলে কি না
- ফাঁদ ১: অনুপাত ও ভগ্নাংশ গুলিয়ে ফেলা। 2:3 মানে 2/3 নয়, এটি 2/(2+3) = 2/5 ভাগ।
- ফাঁদ ২: ব্যস্ত সমানুপাতকে সরল ভাবা। লোক বাড়লে সময় কমে!
- ফাঁদ ৩: অংশীদারিতে শুধু মূলধন ধরা — সময়ও গুণ করতে হবে।
- ফাঁদ ৪: তৃতীয় ও চতুর্থ সমানুপাতিক গুলানো — কয়টি সংখ্যা দেওয়া আছে সেটা দেখুন।
- ফাঁদ ৫: গড়ের প্রশ্নে "মোট যোগফল" বের না করেই উত্তর করা।