📌 মূল ধারণা ও মৌলিক সূত্র
সময় ও কাজ অধ্যায়ের মূল নীতি হলো — কাজ = দক্ষতা × সময়। কোনো ব্যক্তি বা যন্ত্র একটি নির্দিষ্ট সময়ে কাজের কতটুকু অংশ সম্পন্ন করতে পারে, সেটাই তার "দক্ষতা" বা কর্মহার (rate of work)।
কেউ n দিনে সম্পূর্ণ কাজ শেষ করলে:
১ দিনে কাজ = 1/n অংশ
কাজ = দক্ষতা × সময় → W = R × T
বিপরীতভাবে: সময় = কাজ / দক্ষতা → T = W / R
- সাধারণত মোট কাজ = 1 ধরা হয় (পুরো কাজ = ১ একক)
- কাজ ও সময় সরাসরি সমানুপাতিক — বেশি কাজ, বেশি সময়
- শ্রমিক সংখ্যা ও সময় ব্যস্তানুপাতিক — বেশি শ্রমিক, কম সময়
- দক্ষতা ও সময় ব্যস্তানুপাতিক — বেশি দক্ষ, কম সময়
প্রশ্ন: রহিম একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে। সে ১ দিনে কতটুকু কাজ করে? ৬ দিনে কতটুকু কাজ করবে?
সমাধান: ১ দিনে কাজ = 1/24 অংশ
৬ দিনে কাজ = 6 × 1/24 = 6/24 = 1/4 অংশ (অর্থাৎ এক-চতুর্থাংশ)
বাকি কাজ = 1 − 1/4 = 3/4 অংশ
📌 একত্রে কাজ করলে
যখন দুই বা ততোধিক ব্যক্তি একসাথে কাজ করে, তখন তাদের প্রতিদিনের কাজ যোগ হয়।
দুজন: A একা a দিনে ও B একা b দিনে করলে → একত্রে = ab / (a+b) দিন
তিনজন: A, B, C যথাক্রমে a, b, c দিনে করলে → একত্রে = abc / (ab+bc+ca) দিন
সাধারণ সূত্র: ১ দিনে মোট কাজ = 1/a + 1/b + 1/c + ...
প্রশ্ন: A একা ১০ দিনে, B একা ১৫ দিনে একটি কাজ করতে পারে। একত্রে কত দিনে কাজটি শেষ হবে?
ভগ্নাংশ পদ্ধতি: ১ দিনে একত্রে কাজ = 1/10 + 1/15 = (3+2)/30 = 5/30 = 1/6
∴ একত্রে সময় = ৬ দিন
শর্টকাট: ab/(a+b) = 10×15/(10+15) = 150/25 = ৬ দিন ✓
প্রশ্ন: A ও B একত্রে ১২ দিনে, A একা ২০ দিনে করে। B একা কত দিনে করবে?
সমাধান: B-এর ১ দিনের কাজ = 1/12 − 1/20 = (5−3)/60 = 2/60 = 1/30
∴ B একা = ৩০ দিনে
প্রশ্ন: A, B, C একত্রে ৬ দিনে কাজ শেষ করে। A একা ১২ দিনে ও B একা ১৮ দিনে করে। C একা কত দিনে করবে?
সমাধান: C-এর ১ দিনের কাজ = 1/6 − 1/12 − 1/18 = (6−3−2)/36 = 1/36
∴ C একা = ৩৬ দিনে
📌 LCM পদ্ধতি (সবচেয়ে দ্রুত)
ভগ্নাংশ এড়িয়ে পূর্ণ সংখ্যায় কাজ করার জন্য LCM পদ্ধতি সবচেয়ে কার্যকর — প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় এই পদ্ধতি সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত।
ধাপ ১: দিনগুলোর LCM বের করুন → এটাই মোট কাজ (একক)
ধাপ ২: প্রত্যেকের প্রতিদিনের কাজ = মোট কাজ ÷ তার প্রয়োজনীয় দিন
ধাপ ৩: একত্রে প্রতিদিনের কাজ = সবার কাজ যোগ
ধাপ ৪: মোট সময় = মোট কাজ ÷ একত্রে প্রতিদিনের কাজ
প্রশ্ন: A ১২ দিনে, B ১৫ দিনে, C ২০ দিনে কাজ শেষ করে। একত্রে কত দিনে শেষ হবে?
ধাপ ১: LCM(12, 15, 20) = 60 একক (মোট কাজ)
ধাপ ২: A প্রতিদিন = 60/12 = 5 একক | B = 60/15 = 4 একক | C = 60/20 = 3 একক
ধাপ ৩: একত্রে = 5+4+3 = 12 একক/দিন
ধাপ ৪: সময় = 60/12 = ৫ দিন ✓
"LCM = মোট কাজ" — যেকোনো সময়-কাজ সমস্যায় প্রথমেই দিনগুলোর LCM নিন। ভগ্নাংশ পুরোপুরি এড়ানো যায়!
📌 পালাক্রমে কাজ (Alternate Work)
যখন A ও B পালাক্রমে (একদিন A, পরদিন B) কাজ করে, তখন প্রতি ২ দিন = ১ চক্র।
- 1 চক্র = 2 দিন, এতে কাজ = 1/a + 1/b
- কত চক্রে (প্রায়) শেষ হয় বের করুন
- বাকি কাজ → পরবর্তী দিনের কর্মীর দক্ষতা দিয়ে ভাগ করুন
- A শুরু করলে বিজোড় দিনে A কাজ করে, জোড় দিনে B
প্রশ্ন: A ১০ দিনে ও B ১৫ দিনে একটি কাজ করে। পালাক্রমে A শুরু করলে কত দিনে শেষ হবে?
সমাধান (LCM পদ্ধতি): মোট কাজ = LCM(10,15) = 30 একক
A প্রতিদিন = 3 একক, B প্রতিদিন = 2 একক
প্রতি চক্রে (2 দিন) কাজ = 3+2 = 5 একক
30 ÷ 5 = 6 চক্র = 6 × 2 = ১২ দিনে শেষ
প্রশ্ন: A ১২ দিনে ও B ১৫ দিনে কাজ করে। পালাক্রমে A দিয়ে শুরু হলে কত দিনে শেষ?
সমাধান: মোট কাজ = LCM(12,15) = 60 একক
A = 5 একক/দিন, B = 4 একক/দিন → প্রতি চক্র (2 দিন) = 9 একক
6 চক্র (12 দিন) = 54 একক → বাকি = 6 একক
পরের দিন (13তম, A-এর পালা): A 5 একক করে → বাকি 1 একক
পরের দিন (14তম, B-এর পালা): B 4 একক করতে পারে, কিন্তু মাত্র 1 একক বাকি → 1/4 দিন
∴ মোট = 13 + 1/4 = 13¼ দিন
📌 জনবল ও কাজ (Man-Days Concept)
যখন শ্রমিক সংখ্যা, কাজ ও সময় — তিনটি পরিবর্তনশীল, তখন Man-Days ধারণা ব্যবহার হয়।
M₁ × D₁ × H₁ / W₁ = M₂ × D₂ × H₂ / W₂
M = শ্রমিক, D = দিন, H = ঘণ্টা/দিন, W = কাজের পরিমাণ
সরলরূপ (সমান কাজ): M₁ × D₁ = M₂ × D₂
প্রশ্ন: ১৫ জন শ্রমিক ১২ দিনে একটি কাজ শেষ করে। কাজের ১/৩ শেষ হওয়ার পর ৫ জন চলে গেলে বাকি কাজ কত দিনে হবে?
সমাধান: মোট কাজ = 15×12 = 180 ম্যান-ডে
১/৩ কাজ = 60 ম্যান-ডে (4 দিনে হয়)
বাকি কাজ = 2/3 = 120 ম্যান-ডে
বাকি শ্রমিক = 10 জন → সময় = 120/10 = ১২ দিন
প্রশ্ন: ২০ জন শ্রমিক দিনে ৮ ঘণ্টা কাজ করে ২১ দিনে একটি বিল্ডিং তৈরি করে। ২৮ জন শ্রমিক দিনে ৬ ঘণ্টা কাজ করলে কত দিনে শেষ হবে?
সমাধান: M₁D₁H₁ = M₂D₂H₂
20 × 21 × 8 = 28 × D₂ × 6
3360 = 168 × D₂ → D₂ = 3360/168 = ২০ দিন
- "কিছু দিন পর কয়েকজন চলে গেল" — এই ধরনের প্রশ্নে আগের কাজ বাদ দিয়ে বাকি কাজ হিসাব করুন
- ঘণ্টা পরিবর্তন হলে সূত্রে H অবশ্যই অন্তর্ভুক্ত করুন
- "দ্বিগুণ কাজ" মানে W₂ = 2W₁, এটি বাদ দিলে ভুল হবে
📌 দক্ষতা ভিত্তিক সমস্যা
যখন বলা হয় "A, B-এর দ্বিগুণ দক্ষ" বা "A:B এর দক্ষতা = 3:2", তখন সময়ের অনুপাত হবে বিপরীত।
দক্ষতা ∝ 1/সময়
দক্ষতার অনুপাত a:b হলে → সময়ের অনুপাত = b:a
A যদি B-এর n গুণ দক্ষ হয়, তাহলে A-এর সময় = B-এর সময়/n
প্রশ্ন: A, B-এর তিনগুণ দক্ষ। B একা ১৮ দিনে কাজ শেষ করে। একত্রে কত দিনে করবে?
সমাধান: B = 18 দিন, A = 18/3 = 6 দিন
একত্রে = 6×18/(6+18) = 108/24 = ৪.৫ দিন
প্রশ্ন: A ও B এর দক্ষতার অনুপাত ৫:৩। তারা একত্রে ১৫ দিনে কাজ শেষ করলে, A একা কত দিনে করবে?
সমাধান (LCM): দক্ষতা A:B = 5:3 → একত্রে = 8 একক/দিন
মোট কাজ = 8 × 15 = 120 একক
A একা = 120/5 = ২৪ দিনে
📌 পাইপ ও চৌবাচ্চা (Pipe & Cistern)
পাইপ ও চৌবাচ্চা সমস্যা মূলত সময়-কাজের একই রূপ, কিন্তু এখানে পূরণকারী পাইপ (+) ও নিষ্কাশনকারী পাইপ (−) থাকে।
| ধরন | সূত্র | চিহ্ন |
|---|---|---|
| পূরণকারী পাইপ (a ঘণ্টায় পূর্ণ করে) | ১ ঘণ্টায় পূরণ = 1/a | + |
| নিষ্কাশনকারী পাইপ (b ঘণ্টায় খালি করে) | ১ ঘণ্টায় খালি = 1/b | − |
| দুটি পূরণকারী (a, b) | একত্রে = ab/(a+b) | +, + |
| পূরণ + নিষ্কাশন (a, b; b>a) | নিট সময় = ab/(b−a) | +, − |
| ফাঁস (leak) থাকলে | ফাঁস ছাড়া a ঘণ্টায়, ফাঁসসহ b ঘণ্টায় | ফাঁসের হার=1/a−1/b |
প্রশ্ন: পাইপ A ৮ ঘণ্টায় ট্যাংক পূর্ণ করে, পাইপ B ১২ ঘণ্টায় পূর্ণ করে। পাইপ C ২৪ ঘণ্টায় খালি করে। তিনটি একসাথে খুললে কত ঘণ্টায় পূর্ণ হবে?
সমাধান (LCM): LCM(8,12,24) = 24 একক
A = +3 একক/ঘণ্টা, B = +2 একক/ঘণ্টা, C = −1 একক/ঘণ্টা
নিট = 3+2−1 = 4 একক/ঘণ্টা
সময় = 24/4 = ৬ ঘণ্টা
প্রশ্ন: একটি পাইপ ৬ ঘণ্টায় ট্যাংক পূর্ণ করে। তলায় ফাঁস থাকায় পূর্ণ হতে ৮ ঘণ্টা লাগে। ফাঁসটি কত ঘণ্টায় পূর্ণ ট্যাংক খালি করবে?
সমাধান: ফাঁসের হার = 1/6 − 1/8 = (4−3)/24 = 1/24
∴ ফাঁস একা = ২৪ ঘণ্টায় খালি করবে
পূরণ = যোগ (+), খালি/ফাঁস = বিয়োগ (−) — শুধু চিহ্ন মনে রাখলেই সব পাইপ সমস্যা সহজ!
একাধিক পাইপ থাকলে LCM নিয়ে পূর্ণ সংখ্যায় কাজ করুন।
📌 মজুরি বণ্টন (Wages Distribution)
যখন একটি কাজের জন্য মোট মজুরি দেওয়া থাকে এবং একাধিক ব্যক্তি কাজ করে, তখন মজুরি দক্ষতা/কাজের অনুপাতে বণ্টিত হয়।
মজুরি ∝ কাজের পরিমাণ (দক্ষতা)
A ও B-এর দক্ষতা যথাক্রমে 1/a ও 1/b হলে:
মজুরির অনুপাত = 1/a : 1/b = b : a
প্রশ্ন: A ১০ দিনে, B ১৫ দিনে কাজ করে। মোট মজুরি ৫০০০ টাকা হলে A কত পাবে?
সমাধান: দক্ষতার অনুপাত = 1/10 : 1/15 = 15:10 = 3:2
A-এর ভাগ = 5000 × 3/5 = ৩০০০ টাকা
B-এর ভাগ = 5000 × 2/5 = ২০০০ টাকা
প্রশ্ন: A ও B একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করে। A একা ২০ দিনে করতে পারে। মোট মজুরি ৬০০০ টাকা হলে B কত পাবে?
সমাধান: B একা 30 দিনে (আগের সূত্র থেকে)
দক্ষতা A:B = 1/20 : 1/30 = 30:20 = 3:2
B-এর ভাগ = 6000 × 2/5 = ২৪০০ টাকা
📌 পরীক্ষার শর্টকাট সারসংক্ষেপ
- সবসময় LCM পদ্ধতি ব্যবহার করুন — দ্রুত ও ভুলমুক্ত
- একত্রে কাজ = ab/(a+b) সূত্রটি শুধু দুজনের জন্য
- শ্রমিক কমলে/বাড়লে → Man-Days সূত্র ব্যবহার
- "n গুণ দক্ষ" মানে সময় = 1/n গুণ
- পাইপ সমস্যায় পূরণ = (+), খালি = (−) চিহ্ন দিন
- মজুরি = দক্ষতার অনুপাতে বণ্টিত
- শর্টকাট: A ও B একত্রে d দিনে করে, B চলে গেলে A বাকি কাজ d × (1/a) দিয়ে হিসাব